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Dueat: 2023-11-14T10:09:33.836+01:00
Définition
Définition :
Soit \((G_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) une famille de groupes
On définit la loi produit sur \(G_1\times\dots\times G_n\) : $$(x_1,\dots,x_n)(y_1,\dots,y_n)=(x_1y_1,\dots,x_ny_n)$$
Muni de cette loi, \(G_1\times\dots\times G_n\) est un groupe, dit groupe produit
Propriétés
Elément neutre
L'élément neutre du groupe produit est \((e_1,\dots,e_n)\)
Elément inverse
Pour le groupe produit, \((x_1,\dots,x_n)^{-1}=\) \((x^{-1}_1,\dots,x^{-1}_n)\)
Caractère abélien
Caractère abélien du groupe produit :
\(G_1,\dots,G_n\) sont abéliens
$$\Huge\iff$$
le groupe produit \(G_1\times\dots\times G_n\) est abélien